本篇继 [[流量计校准实现过程]]，这里学习一次多项式拟合
工业分析仪中常见的“零点校准”和“量程（满度）校准”，本质上就是只有两个样本点的“一次多项式拟合”（线性回归）。
数学上，这就是在解一个二元一次方程组，求出直线方程 $y = kx + b$ 中的两个参数：
- $b$ (截距/Offset)：对应 零点 (Zero)。
- $k$ (斜率/Slope)：对应 量程/灵敏度 (Span/Sensitivity)。
不过，虽然数学本质一样，但在工程实现和操作逻辑上，普通的“零点/量程校准”和标准的“最小二乘法”有一点微妙的区别。我来为你拆解一下：
1. 数学本质：确定解 vs. 统计解
场景 A：两点校准（Zero & Span）—— “钉钉子”
这是大多数分析仪（如 CEMS 中的 $\text{SO}_2, \text{NO}_x$ 分析仪）的做法。因为只有两个点（零气点、标气点），两点确定一条直线。
- 步骤 1（通零气）： 输入 $x=0$，测得 $y_{raw}$。
- 直接算出截距 $b = 0 - y_{raw}$（或者将当前的读数强行置为 0）。
- 这就像把直线的起点用钉子钉死在原点。
- 步骤 2（通标气）： 输入 $x=Span$，测得 $y_{raw}$。
- 基于确定的 $b$，算出斜率 $k$。
- 这就像以零点为轴心，旋转这根线，直到它穿过标气点。
结论：这是一个代数计算过程，算出来的线必须完美经过这两个点。误差为 0（在校准那一刻）。
场景 B：最小二乘法（Least Squares）—— “找平衡”
这是你在配气仪或高精度流量计中用的方法（点数 $N > 2$）。如果你通了零气、20% 浓度、50% 浓度、80% 浓度、100% 浓度。
- 直线可能不会完美穿过零点，也不会完美穿过 100% 点。
- 它是一条“妥协”的线，试图让所有点的综合误差最小。
为什么工业分析仪偏爱“零点 + 量程”而不是“多点拟合”
既然多点拟合更准，为什么像西门子、赛默飞这些分析仪平时维护只做 Zero/Span？
原因一：漂移的物理意义不同
在传感器领域，误差通常来源于两个独立的物理现象，正好对应 $b$ 和 $k$：
- 零点漂移 (Zero Drift) $\rightarrow b$ 的变化
- 物理原因：电子元器件的热噪声、光电倍增管（PMT）的暗电流、背景光的干扰。
- 特点：它是一个叠加在所有读数上的固定值。
- 对策：只要每天通一次零气，把这个“底色”扣掉就行。
- 量程漂移 (Span Drift) $\rightarrow k$ 的变化
- 物理原因：紫外灯老化光强减弱、气体室镜片脏了、检测器灵敏度下降。
- 特点：它影响的是变化的比例。
- 对策：通入高浓度标气，重新计算放大倍数。
因为这两种漂移的机理不同，所以在仪表软件里，通常允许独立校准：
- 你可以只做零点校准（修正 $b$），而不动斜率 $k$。
- 这在最小二乘法里很难做到，因为一旦重新拟合，$k$ 和 $b$ 通常都会变。
原因二：法规与成本
- 成本：做多点线性化（Linearization）需要购买不同浓度的标气，或者使用昂贵的配气仪。
- 法规：如果每天都要做 5 点校准，运维人员会疯掉，标气成本也受不了。
模型的选择
如上所说，在常见的线性传感器领域，误差通常来源于两个独立的物理现象，正好对应 $b$ 和 $k$。对于非线性传感器，可能就需要选择二次多项式拟合（如 [[流量计校准实现过程]] 中所说的最小二乘法多项式拟合）
1、物理原理：金氏定律
热式流量计的核心原理是测量气体带走热量的速度。描述这一物理过程的经典公式是 King’s Law（金氏定律）：$$P = I^2 R = A + B \cdot (Q)^n$$
- $P$：加热功率（对应传感器的输出电压或电桥电压 $V$）。
- $Q$：质量流量。
- $n$：指数常数，通常在 0.4 ~ 0.5 之间。
这意味着什么？ 这意味着传感器输出的电压 $V$ 和流量 $Q$ 之间，根本不是直线关系，而是一个类似于 “根号曲线” 或 “对数曲线” 的关系。
- 在小流量区：散热极快，电压变化非常剧烈（灵敏度极高，曲线很陡）。
- 在大流量区：散热趋于饱和，电压变化变慢（灵敏度下降，曲线变平缓）。
如果你强行用一条直线（一次方程）去拟合这种“前陡后平”的物理曲线，误差会非常大——要么小流量测不准，要么大流量偏差巨大。
2、数学特性：泰勒级数展开
虽然 King’s Law 是指数关系，但在数学上，任何光滑的非线性函数，都可以在局部范围内展开成多项式（泰勒级数）。$$f(x) \approx a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots$$ 对于热式流量计这种单调变化（不回头、不震荡）的曲线，二次（$x^2$）或三次（$x^3$）多项式 恰好能完美地模拟由于指数 $n$ 带来的弯曲度。
- 二次项 ($ax^2$)：提供了曲线的“弯曲方向”，让拟合线能顺着金氏定律的趋势“弯”过去。
- 最小二乘法：能够在这个弯曲的过程中，让所有标定点的整体误差（均方差）最小，自动平衡高低流量段的偏差。
3、工程需求：宽量程比 (High Turndown Ratio)
热式流量计的一个显著优点是量程比极宽，通常能达到 100:1 甚至更高（例如能测 5000 mL/min，也能测 50 mL/min）。
- 线性拟合的死穴：在 100:1 的宽量程下，直线完全无法兼顾首尾。
- 多项式拟合的优势：
- 它允许变斜率（Variable Slope）。
- 在低端，多项式的切线斜率大，匹配高灵敏度。
- 在高端，多项式的切线斜率小，匹配饱和区。