本篇继 氧化锆氧传感器、流量计校准算法 和 一次多项式拟合 后，通过这三篇的学习，了解到在仪器仪表算法设计（例如校准算法）的核心逻辑上，物理现象与数学模型需要对应。

为了更深入地理解这个概念，我们可以把这三个参数（$c, b, a$）【最小二乘法多项式，$y = ax^2 + bx + c$】想象成控制一条曲线形状的三个“物理旋钮”：

1. 线性传感器：两个独立的物理旋钮 ($b$ 和 $k$)

对于大多数分析仪（如 $\text{SO}_2$, $\text{NO}_x$）或压力/温度变送器，理想情况下它们是线性的。

• 旋钮 1：截距 $b$ (Zero / Offset)
  • 物理含义：零点漂移。
  • 物理来源：背景噪声、暗电流、零气不纯、温度引起的基线波动。
  • 数学作用：平移 (Translation)。
  • 操作：把整条线向上或向下移动，不改变倾斜角度。
  • 校准：通零气，修改 $b$。
• 旋钮 2：斜率 $k$ (Span / Gain)
  • 物理含义：灵敏度漂移。
  • 物理来源：光源老化（能量减弱）、检测器效率下降、光路受污染、气体室透镜变脏。
  • 数学作用：旋转 (Rotation)。
  • 操作：以零点为轴心，把线的尾巴抬高或按低。
  • 校准：通标气，修改 $k$。

结论：因为这两个物理过程（比如“背景噪声大”和“灯泡变暗”）通常是不相关的，所以我们可以分别独立校准零点和量程。

2. 非线性传感器：增加了第三个旋钮 ($a$)

对于热式流量计（MFC）、NDIR（非分光红外）气体传感器、热电偶等，物理定律本身决定了它们不是直的。

此时我们引入二次项：$y = ax^2 + bx + c$。

• 旋钮 3：曲率系数 $a$ (Linearity / Curvature)
  • 物理含义：非线性程度（弯曲的厉害程度）。
  • 物理来源：
    • 热式流量计：King’s Law 中的指数效应（散热速率随流量增加而变慢）。
    • 光学传感器：Beer-Lambert Law 在高浓度下的“吸光度饱和”效应（光被吸光了，浓度再高信号也变不了多少）。
  • 数学作用：弯曲 (Bending)。
  • 操作：控制曲线是开口向上（像碗）还是开口向下（像拱桥），以及弯得有多急。

3. 为什么非线性传感器需要“最小二乘法多项式拟合”？

这就回到了你提到的点：因为这时候，$b$ 和 $k$ 已经不够用了。

如果你强行用直尺（线性方程）去量一个弯曲的彩虹（非线性数据）：

1. 你调整 $b$（平移直尺），中间碰到了，两头翘起来。
2. 你调整 $k$（旋转直尺），头尾碰到了，中间空了一大块。

只有引入 $ax^2$（多项式拟合），你手里的“直尺”变成了一根“软尺”，你才能把它弯曲，完美贴合传感器真实的物理曲线。

总结

所以说，算法的选择，本质上是对物理现象复杂度的妥协与匹配